যদি $\overrightarrow{x} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 6\hat{k} , \overrightarrow{y} =3\hat{i}+ 5\hat{j} -7 \hat{k}$ হয়, তবে $\overrightarrow{y}$ ভেক্টরের উপর $\overrightarrow{x}$ ভেক্টরের জেলার অভিক্ষেপ কত?

একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের স্কেলার অভিক্ষেপ (Scalar Projection) নির্ণয়ের সূত্র হলো: যদি \( \vec{a} \) ভেক্টরের উপর \( \vec{b} \) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হয়, তবে অভিক্ষেপ = \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \)।

এখানে প্রদত্ত ভেক্টর দুটি হলো:

\( \vec{x} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 6\hat{k} \)

\( \vec{y} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k} \)

আমাদের \( \vec{y} \) ভেক্টরের উপর \( \vec{x} \) ভেক্টরের স্কেলার অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, \( \vec{x} \) এবং \( \vec{y} \) ভেক্টরের ডট গুণফল (Dot Product) নির্ণয় করি:

\( \vec{x} \cdot \vec{y} = (2)(3) + (4)(5) + (-6)(-7) \)

\( = 6 + 20 + 42 \)

\( = 68 \)

এবার, \( \vec{y} \) ভেক্টরের মান (Magnitude) নির্ণয় করি:

\( |\vec{y}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-7)^2} \)

\( = \sqrt{9 + 25 + 49} \)

\( = \sqrt{83} \)

সুতরাং, \( \vec{y} \) ভেক্টরের উপর \( \vec{x} \) ভেক্টরের স্কেলার অভিক্ষেপ হবে:

অভিক্ষেপ = \( \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{y}|} \)

\( = \frac{68}{\sqrt{83}} \)

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো \( \frac{68}{\sqrt{83}} \)।